【色彩】RGB to XYZ

	RGB 為紅綠藍所代表的數位訊號等級，在三原色系統用來描述色彩等級或比例的單位，為線性系統。XYZ 為三次激值（tristimulus），為人類感知色彩強度的心因性物理量量化數值，屬於非線性系統。兩者間的轉換是複雜且不直接的，RGB 需進行 Gamma 轉換後，並進行轉換矩陣的混和，才能計算對應的 XYZ。

 

轉換流程

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$RGB$ to $XYZ$ 的轉換流程，第一個步驟須將 $RGB$ 和 $XYZ$ 正規化到區間 $[0,1]$ 之間，以 8 位元系統為例， 127 被正規化成 0.4980。整個轉換過程，可透過下面的流程圖進行說明：

st=>start: RGB e=>end: XYZ op1=>operation: Normalize op2=>operation: Gamma Transform (Rbar, Gbar, Bbar) op3=>operation: Transformed Matrix st->op1->op2->op3->e

線性的 $RGB$ 透過 Gamma 轉換，先轉換到非線性的 $\overline{RGB}$，在透過色彩轉換矩陣轉換至非線性的三次激值 $XYZ$。轉換關係可用下述數學轉換式表示：

$$\begin{array}{}\text{(01)}& \left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]=M_t\left(\gamma \left(\left[\begin{array}{c}R\\ G\\ B\end{array}\right]\right)\right)\end{array}$$

上述的 $M_t$ 為色彩轉換矩陣（Color Transformed Matrix）， $\gamma \left(\right)$ 為 Gamma 轉換函式（Gamma Transformed Function）。

Gamma 轉換

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由於人眼對色彩與亮度的感知強度為非線性表現，通常為指數型態的相對關係，因此數位訊號 $RGB$ 所對應的色彩強度，或是亮度強度，為因應這種現象，常被設計成一種非線性遞增的表現系統。Gamma 即轉換旨在將線性的 $RGB$ 系統，轉換成非線性系統 $\overline{RGB}$ 的轉換過程。Gamma 轉換的方法可分成三類，分別是指數函數、查表，以及轉換方程式。

指數函式即為指數轉換的方法，以式($\text{02}$)的方式呈現。

$$\begin{array}{}\text{(02)}& \overline{C}=C^{\gamma },where\overline{C}\in \{\overline{R},\overline{G},\overline{B}\},C\in \{R,G,B\}\end{array}$$

查表即給一組對應表，透過內差的方式將對應的 Gamma 數值換算出來；轉換方程式即透過非指數函數的特定方程式，將 Gamma 值計算出來，以 Rec. （B.T.）規範為大宗。

色彩轉換矩陣

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透過 Gamma 轉換，得到非線性的 $\overline{RGB}$， $\overline{RGB}$ 可藉由三組特定的三元一次方程式，分別求得 $X$、$Y$、$Z$ 值，可用下列式子表示：

$$\begin{array}{}\text{(03)}& X=a\bar{R}+b\bar{G}+c\bar{B}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(04)}& Y=d\bar{R}+e\bar{G}+f\bar{B}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(05)}& Z=g\bar{R}+h\bar{G}+i\bar{B}\end{array}$$

可表示成：

$$\begin{array}{}\text{(06)}& \left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\bar{R}\\ \bar{G}\\ \bar{B}\end{array}\right]\end{array}$$

根據式($\text{06}$)，令色彩轉換矩陣

$$\begin{array}{}\text{(07)}& M_t=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\end{array}$$

$M_t$ 即為從 $\overline{RGB}$ 轉換到三次激值 $XYZ$ 的色彩轉換矩陣。發光式的三色顯示器其 $M_t$ 的計算方式主要參考 IEC-61966-4 內所建議，以紅綠藍三色正規化後的三次激值，作為矩陣主要的列，並乘上一個修正對角矩陣，使得水平方向的和為正規化後的白色三次激值。

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色彩科學

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