野生雇員: 【色彩】顯示器色彩轉換矩陣的計算方式

	在三原色色光發光系統中，色彩轉換矩陣（Color Transformation Matrix）為一個線性轉換矩陣，用來描述轉換感知線性化色彩訊號 RGB （Gamma 轉換後的 RGB）到三次激值（Trisitimulus） XYZ 的轉換比重。

IEC 61966-4

根據 IEC 61966-4 第 8 章的的敘述，令 C 為顏色變數，分別表示為最大的紅色（Peak Red, R）, 最大的綠色（Peak Greed, G）, 最大的藍色（Peak Blue, B）和最大的白色（Peak White, W），則用下列式子分別表示正規化後的三次激值：

$\begin{array}{r} (01) & X_{C}^{'} = \frac{X_{C}}{Y_{n}} \end{array}$

$\begin{array}{r} (02) & Y_{C}^{'} = \frac{Y_{C}}{Y_{n}} \end{array}$

$\begin{array}{r} (03) & Z_{C}^{'} = \frac{Z_{C}}{Y_{n}} \end{array}$

其中 $Y_{n}$ 為白色的 Y 值，亦為該系統下的最大量測亮度值（measured luminance）。根據 CIE 1931 x y 色度座標的計算方式，分別計算對應的 $x_{C}$ 、 $y_{C}$ ，還有 $z_{C}$ ：

$\begin{array}{r} (04) & x_{C} = \frac{X_{C}^{'}}{X_{C}^{'} + Y_{C}^{'} + Z_{C}^{'}} \end{array}$

$\begin{array}{r} (05) & y_{C} = \frac{Y_{C}^{'}}{X_{C}^{'} + Y_{C}^{'} + Z_{C}^{'}} \end{array}$

$\begin{array}{r} (06) & z_{C} = 1 - x_{C} - y_{C} \end{array}$

令 $M_{t}$ 為一個 3 x 3 矩陣，滿足下述關係式（在 IEC 61966-4 內矩陣表示為 $S$ ）：

$\begin{array}{r} (07) & [\begin{array}{c} X^{'} \\ Y^{'} \\ Z^{'} \end{array}] = M_{t} [\begin{array}{c} R \\ G \\ B \end{array}] \end{array}$

其中 $R$ 、 $G$ 、 $B$ 分別表示被正規化後的訊號等級，則 $M_{t}$ 計算如下：

$\begin{array}{r} (08) & M_{t} = [\begin{array}{c} x_{R} / y_{R} & x_{G} / y_{G} & x_{B} / y_{B} \\ 1 & 1 & 1 \\ z_{R} / y_{R} & z_{G} / y_{G} & z_{B} / y_{B} \end{array}] [\begin{array}{c} S_{R} & 0 & 0 \\ 0 & S_{G} & 0 \\ 0 & 0 & S_{B} \end{array}] \end{array}$

其中 $S_{R}$ 、 $S_{G}$ ，和 $S_{B}$ 為下述關係式之解：

$\begin{array}{r} (09) & [\begin{array}{c} x_{R} / y_{R} & x_{G} / y_{G} & x_{B} / y_{B} \\ 1 & 1 & 1 \\ z_{R} / y_{R} & z_{G} / y_{G} & z_{B} / y_{B} \end{array}] [\begin{array}{c} S_{R} \\ S_{G} \\ S_{B} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{W} / y_{W} \\ 1 \\ z_{W} / y_{W} \end{array}] \end{array}$

$\begin{array}{r} (10) & ⟹ [\begin{array}{c} S_{R} \\ S_{G} \\ S_{B} \end{array}] = {[\begin{array}{c} x_{R} / y_{R} & x_{G} / y_{G} & x_{B} / y_{B} \\ 1 & 1 & 1 \\ z_{R} / y_{R} & z_{G} / y_{G} & z_{B} / y_{B} \end{array}]}^{- 1} [\begin{array}{c} x_{W} / y_{W} \\ 1 \\ z_{W} / y_{W} \end{array}] \end{array}$

簡化

然而，實際上上述的計算方式是可被簡化的，式 ( $08$ ) 可被改寫如下：

$\begin{array}{r} (11) & M_{t} = ([\begin{array}{c} x_{R} & x_{G} & x_{B} \\ y_{R} & y_{G} & y_{B} \\ z_{R} & z_{G} & z_{B} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 / y_{R} & 0 & 0 \\ 0 & 1 / y_{G} & 0 \\ 0 & 0 & 1 / y_{B} \end{array}]) [\begin{array}{c} S_{R} & 0 & 0 \\ 0 & S_{G} & 0 \\ 0 & 0 & S_{B} \end{array}] \end{array}$

令 $\overset{―}{S_{R}} = (X_{R} + Y_{R} + Z_{R})$ 、 $\overset{―}{S_{G}} = (X_{G} + Y_{G} + Z_{G})$ 、 $\overset{―}{S_{B}} = (X_{B} + Y_{B} + Z_{B})$ ，則式 ( $11$ ) 可改寫成

$\begin{array}{r} (12) & M_{t} = (([\begin{array}{c} X_{R} & X_{G} & X_{B} \\ Y_{R} & Y_{G} & Y_{B} \\ Z_{R} & Z_{G} & Z_{B} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{\overset{―}{S_{R}}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\overset{―}{S_{G}}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\overset{―}{S_{B}}} \end{array}]) [\begin{array}{c} \frac{\overset{―}{S_{R}}}{Y_{R}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\overset{―}{S_{G}}}{Y_{G}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\overset{―}{S_{B}}}{Y_{B}} \end{array}]) [\begin{array}{c} S_{R} & 0 & 0 \\ 0 & S_{G} & 0 \\ 0 & 0 & S_{B} \end{array}] \end{array}$

根據矩陣乘法結合律、對角矩陣乘法交換律，則式 ( $12$ ) 可改寫成

$\begin{array}{r} (13) & M_{t} = [\begin{array}{c} X_{R} & X_{G} & X_{B} \\ Y_{R} & Y_{G} & Y_{B} \\ Z_{R} & Z_{G} & Z_{B} \end{array}] [\begin{array}{c} S_{R}^{'} & 0 & 0 \\ 0 & S_{G}^{'} & 0 \\ 0 & 0 & S_{B}^{'} \end{array}] \end{array}$

其中 $S_{R}^{'}$ 、 $S_{G}^{'}$ 、 $S_{B}^{'}$ ，根據式 ( $10$ ) 、式 ( $13$ ) 可被求得如下：

$\begin{array}{r} (14) & [\begin{array}{c} S_{R}^{'} \\ S_{G}^{'} \\ S_{B}^{'} \end{array}] = {[\begin{array}{c} X_{R} & X_{G} & X_{B} \\ Y_{R} & Y_{G} & Y_{B} \\ Z_{R} & Z_{G} & Z_{B} \end{array}]}^{- 1} [\begin{array}{c} X_{W} / Y_{W} \\ 1 \\ X_{W} / Y_{W} \end{array}] \end{array}$