野生雇員: 【疑難】白點和特定點在 sRGB 色彩空間上的等分計算

	這篇是關於社團【色彩管理交流】內的成員求助，問題很有趣，所以來解答看看。

問題描述

社團內的朋友所問的問題如下圖截圖所示，給了一張 CIE 1976 USC Yu'v' 色度圖，給了兩點 RGB 資訊，希望能夠內插出三點 RGB 使得 Yu'v' 色度圖內的座標為四等距。

第一時間看到這個問題，直覺所想到的問題是資訊不足，在發光源的顯色系統中，沒給色彩空間（Color Space）資訊根本沒有辦法往下做下去，所幸後來原發文者有補充說明了這個色彩空間環境的 RGBW u'v' 色度座標，並進一步地說明是 sRGB 色彩空間。好，有色彩空間了，那問題就可以簡化成：

"在 sRGB 色彩空間下，給任意兩個 RGB 資訊，找出三組 RGB 資訊，使得這三組 RGB 資訊在 CIE 1976 u'v' 色度空間中，剛好坐落定於兩組 RGB 對應的 u'v' 座標直線上，將直線分成四等分。"

發文者所給的 RGB 數值分別為 (255, 128, 0) 和 (255, 255, 255)，那麼底下就開始進行作業。

RGB 的正規化

首先要處理的是正規化的問題，從發文者的資訊推估，演色系統為 8 位元，因此將顏色正規化如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} C_1 = \begin{bmatrix} \dfrac{255}{255} \\ \dfrac{128}{255} \\ \dfrac{0}{255} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.0000 \\ 0.5020 \\ 0.0000\end{bmatrix} \label{01} \tag{01} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} C_2 = \begin{bmatrix} \dfrac{255}{255} \\ \dfrac{255}{255} \\ \dfrac{255}{255} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000\end{bmatrix} \label{02} \tag{02} \end{align*} } \]

人眼感知線性化：$\small \mathsf{RGB}$ to $\overline{\small \mathsf{RGB}}$

已知色彩空間為 sRGB ，Gamma Expansion 函數如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \require{mathtools} \Gamma(C) = \begin{dcases} \dfrac{C}{12.92}& \quad \text{if } C \leq 0.04045 \\ (\dfrac{C+0.055}{1.055})^{2.4}& \quad \text{otherwise} \end{dcases} \label{03} \tag{03} \end{align*} } \]

根據式 ($\ref{03}$) 計算 $\overline{\small \mathsf{RGB}}$ 如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \overline{C_1} = \Gamma(C_1) = \begin{bmatrix} 1.0000 \\ 0.2159 \\ 0.0000\end{bmatrix} \label{04} \tag{04} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \overline{C_2} = \Gamma(C_2) = \begin{bmatrix} 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000\end{bmatrix} \label{05} \tag{05} \end{align*} } \]

$\overline{\small \mathsf{RGB}}$ to $\small \mathsf{XYZ}$

已知色彩空間為 sRGB ，根據 sRGB 規範，可計算色彩轉換矩陣如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} M_t = \begin{bmatrix} 0.4124564 & 0.3575761 & 0.1804375 \\ 0.2126729 & 0.7151522 & 0.0721750 \\ 0.0193339 & 0.1191920 & 0.9503041 \end{bmatrix} \label{06} \tag{06} \end{align*} } \]

計算 $XYZ_1$ 和 $XYZ_2$ 如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} XYZ_1 = M_tC_1= \begin{bmatrix} 0.4896 \\ 0.3670 \\ 0.0451\end{bmatrix} \label{07} \tag{07} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} XYZ_2 = M_tC_2= \begin{bmatrix} 0.9500 \\ 1.0000 \\ 1.0888\end{bmatrix} \label{08} \tag{08} \end{align*} } \]

$\small \mathsf{XYZ}$ to $\small \mathsf{u'v'}$

$\small \mathsf{XYZ}$ to $\small \mathsf{u'v'}$ 轉換式如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} u' \\ v' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{4X}{X+15Y+3Z} \\ \dfrac{9Y}{X+15Y+3Z} \end{bmatrix} \label{09} \tag{09} \end{align*} } \]

根據式 ($\ref{09}$) 計算 $\begin{bmatrix} u' \\ v' \end{bmatrix}_1 $ 和 $\begin{bmatrix} u' \\ v' \end{bmatrix}_2 $ 如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} u' \\ v' \end{bmatrix}_1 = \begin{bmatrix} 0.3195 \\ 0.5388\end{bmatrix} \label{10} \tag{10} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} u' \\ v' \end{bmatrix}_2 = \begin{bmatrix} 0.1978 \\ 0.4683\end{bmatrix} \label{11} \tag{11} \end{align*} } \]

內插

將各自的 XYZ 內的 Y 將 u'v' 組合得到 Yu'v' ，根據線性內插，算出兩個 Yu'v' 的等分點如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Y \\ u' \\ v' \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} 0.6835 \\ 0.2587 \\ 0.5036\end{bmatrix} \label{12} \tag{12} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Y \\ u' \\ v' \end{bmatrix}_B = \begin{bmatrix} 0.5253 \\ 0.2891 \\ 0.5212\end{bmatrix} \label{13} \tag{13} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Y \\ u' \\ v' \end{bmatrix}_C = \begin{bmatrix} 0.8818 \\ 0.2282 \\ 0.4860\end{bmatrix} \label{1$} \tag{14} \end{align*} } \]

$\small \mathsf{Yu'v'}$ to $\small \mathsf{Yxy}$

$\small \mathsf{Yu'v'}$ 轉換成 $\small \mathsf{Yxy}$ 的轉換式如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Y \\ x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y \\ \dfrac{9u'}{6u' - 16v' + 12} \\ \dfrac{4v'}{6u' - 16v' + 12} \end{bmatrix} \label{15} \tag{15} \end{align*} } \]

根據式 ($\ref{15}$) 計算 $\begin{bmatrix} Y \\ x \\ y \end{bmatrix}_A $ 、$\begin{bmatrix} Y \\ x \\ y \end{bmatrix}_B $ 和 $\begin{bmatrix} Y \\ x \\ y \end{bmatrix}_C $ 如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Y \\ x \\ y \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} 0.6835 \\ 0.4237 \\ 0.3666\end{bmatrix} \label{16} \tag{16} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Y \\ x \\ y \end{bmatrix}_B = \begin{bmatrix} 0.5253 \\ 0.4822 \\ 0.3865\end{bmatrix} \label{17} \tag{17} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Y \\ x \\ y \end{bmatrix}_C = \begin{bmatrix} 0.7626 \\ 0.3652 \\ 0.3570\end{bmatrix} \label{18} \tag{18} \end{align*} } \]

$\small \mathsf{Yu'v'}$ to $\small \mathsf{Yxy}$

$\small \mathsf{Yu'v'}$ 轉換成 $\small \mathsf{Yxy}$ 的轉換式如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{xY}{y} \\ Y \\ \dfrac{(1-x-y)Y}{y} \end{bmatrix} \label{19} \tag{19} \end{align*} } \]

根據式 ($\ref{19}$) 計算 $\begin{bmatrix} Y \\ Y \\ Z \end{bmatrix}_A $ 、$\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}_B $ 和 $\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}_C $ 如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} 0.7899 \\ 0.6835 \\ 0.3910\end{bmatrix} \label{20} \tag{20} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}_B = \begin{bmatrix} 0.6555 \\ 0.5253 \\ 0.1785\end{bmatrix} \label{21} \tag{22} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}_C = \begin{bmatrix} 0.8896 \\ 0.8418 \\ 0.6911\end{bmatrix} \label{22} \tag{22} \end{align*} } \]

$\small \mathsf{XYZ}$ to $\overline{\small \mathsf{RGB}}$

$\small \mathsf{XYZ}$ 轉換 $\overline{\small \mathsf{RGB}}$ 可以參考式 ($\ref{07}$) 和式 ($\ref{08}$) 的反矩陣轉換如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} \overline{R} \\ \overline{G} \\ \overline{B} \end{bmatrix} = M_t^{-1}\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} \label{23} \tag{23} \end{align*} } \]

$\overline{\small \mathsf{RGB}}$ to $\small \mathsf{RGB}$

已知色彩空間為 sRGB ，Gamma Compression 函數如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \require{mathtools} \Gamma^{-1}(\overline{C}) = \begin{dcases} 12.92\overline{C}& \quad \text{if } \overline{C} \leq 0.0031308 \\ 1.055\overline{C}^{\frac{1}{2.4}}-0.055& \quad \text{otherwise} \end{dcases} \label{24} \tag{24} \end{align*} } \]

結果

在式 ($\ref{24}$) 完成後，須注意數值是否介於 0 和 1 之間，若否，則需進行 clamp 或者選擇適合的 intend 進行壓縮，之後將這些數值正規化到 255 後，取四捨五入整數。在這次的運算中發現正規到 255 後的數值超出 255 數值如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Ｒ \\ Ｇ \\ Ｂ \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} 287.4324 \\ 192.9386 \\ 152.8445 \end{bmatrix} \label{25} \tag{25} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Ｒ \\ Ｇ \\ Ｂ \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} 278.9999 \\ 161.2297 \\ 96.4013 \end{bmatrix} \label{26} \tag{26} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Ｒ \\ Ｇ \\ Ｂ \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} 280.6359 \\ 224.0326 \\ 204.6895 \end{bmatrix} \label{27} \tag{27} \end{align*} } \]

為避免這些大於數位訊號能顯示的範圍，必須進行數值限縮，這邊採用等比壓縮法，但這個方法並非合理的限縮方式，但針對貼文者的需求，應該是足夠了。最終結果如下：

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Ｒ \\ Ｇ \\ Ｂ \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} 255.0000 \\ 171.1684 \\ 135.5983 \end{bmatrix} \label{28}\tag{28} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Ｒ \\ Ｇ \\ Ｂ \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} 255.0000 \\ 147.3605 \\ 88.1088 \end{bmatrix} \label{29} \tag{29} \end{align*} } \]

\[ \style{text-align:left;} { \begin{align*} \begin{bmatrix} Ｒ \\ Ｇ \\ Ｂ \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} 255.0000 \\ 203.5673 \\ 185.9913 \end{bmatrix} \label{30} \tag{30} \end{align*} } \]