【疑難】白點和特定點在 sRGB 色彩空間上的等分計算

	這篇是關於社團【色彩管理交流】內的成員求助，問題很有趣，所以來解答看看。

 

 

 

問題描述

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社團內的朋友所問的問題如下圖截圖所示，給了一張 CIE 1976 USC Yu'v' 色度圖，給了兩點 RGB 資訊，希望能夠內插出三點 RGB 使得 Yu'v' 色度圖內的座標為四等距。

第一時間看到這個問題，直覺所想到的問題是資訊不足，在發光源的顯色系統中，沒給色彩空間（Color Space）資訊根本沒有辦法往下做下去，所幸後來原發文者有補充說明了這個色彩空間環境的 RGBW u'v' 色度座標，並進一步地說明是 sRGB 色彩空間。好，有色彩空間了，那問題就可以簡化成：

"在 sRGB 色彩空間下，給任意兩個 RGB 資訊，找出三組 RGB 資訊，使得這三組 RGB 資訊在 CIE 1976 u'v' 色度空間中，剛好坐落定於兩組 RGB 對應的 u'v' 座標直線上，將直線分成四等分。"

發文者所給的 RGB 數值分別為 (255, 128, 0) 和 (255, 255, 255)，那麼底下就開始進行作業。

 

RGB 的正規化

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首先要處理的是正規化的問題，從發文者的資訊推估，演色系統為 8 位元，因此將顏色正規化如下：

$$\begin{array}{}\text{(01)}& C_1=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{255}{255}}\\ {\displaystyle \frac{128}{255}}\\ {\displaystyle \frac{0}{255}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1.0000\\ 0.5020\\ 0.0000\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(02)}& C_2=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{255}{255}}\\ {\displaystyle \frac{255}{255}}\\ {\displaystyle \frac{255}{255}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1.0000\\ 1.0000\\ 1.0000\end{array}\right]\end{array}$$

 

人眼感知線性化：$\mathsf{RGB}$ to $\overline{\mathsf{RGB}}$

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已知色彩空間為 sRGB ，Gamma Expansion 函數如下：

$$\begin{array}{}\text{(03)}& \mathrm{\Gamma }(C)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{C}{12.92}}& \text{if }C\le 0.04045\\ ({\displaystyle \frac{C+0.055}{1.055}}{)}^{2.4}& \text{otherwise}\end{array}\end{array}$$

根據式 ($\text{03}$) 計算 $\overline{\mathsf{RGB}}$ 如下：

$$\begin{array}{}\text{(04)}& \overline{C_1}=\mathrm{\Gamma }(C_1)=\left[\begin{array}{c}1.0000\\ 0.2159\\ 0.0000\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(05)}& \overline{C_2}=\mathrm{\Gamma }(C_2)=\left[\begin{array}{c}1.0000\\ 1.0000\\ 1.0000\end{array}\right]\end{array}$$

 

$\overline{\mathsf{RGB}}$ to $\mathsf{XYZ}$

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已知色彩空間為 sRGB ，根據 sRGB 規範，可計算色彩轉換矩陣如下：

$$\begin{array}{}\text{(06)}& M_t=\left[\begin{array}{ccc}0.4124564& 0.3575761& 0.1804375\\ 0.2126729& 0.7151522& 0.0721750\\ 0.0193339& 0.1191920& 0.9503041\end{array}\right]\end{array}$$

計算 $XY{Z}_1$ 和 $XY{Z}_2$ 如下：

$$\begin{array}{}\text{(07)}& XY{Z}_1=M_t{C}_1=\left[\begin{array}{c}0.4896\\ 0.3670\\ 0.0451\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(08)}& XY{Z}_2=M_t{C}_2=\left[\begin{array}{c}0.9500\\ 1.0000\\ 1.0888\end{array}\right]\end{array}$$

 

$\mathsf{XYZ}$ to ${\mathsf{u}}^{\prime }{\mathsf{v}}^{\prime }$

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$\mathsf{XYZ}$ to ${\mathsf{u}}^{\prime }{\mathsf{v}}^{\prime }$ 轉換式如下：

$$\begin{array}{}\text{(09)}& \left[\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4X}{X+15Y+3Z}}\\ {\displaystyle \frac{9Y}{X+15Y+3Z}}\end{array}\right]\end{array}$$

根據式 ($\text{09}$) 計算 ${\left[\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]}_1$ 和 ${\left[\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]}_2$ 如下：

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\left[\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]}_1=\left[\begin{array}{c}0.3195\\ 0.5388\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\left[\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]}_2=\left[\begin{array}{c}0.1978\\ 0.4683\end{array}\right]\end{array}$$

 

內插

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將各自的 XYZ 內的 Y 將 u'v' 組合得到 Yu'v' ，根據線性內插，算出兩個 Yu'v' 的等分點如下：

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\left[\begin{array}{c}Y\\ u^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]}_A=\left[\begin{array}{c}0.6835\\ 0.2587\\ 0.5036\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\left[\begin{array}{c}Y\\ u^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]}_B=\left[\begin{array}{c}0.5253\\ 0.2891\\ 0.5212\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\left[\begin{array}{c}Y\\ u^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]}_C=\left[\begin{array}{c}0.8818\\ 0.2282\\ 0.4860\end{array}\right]\end{array}$$

 

${\mathsf{Yu}}^{\prime }{\mathsf{v}}^{\prime }$ to $\mathsf{Yxy}$

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${\mathsf{Yu}}^{\prime }{\mathsf{v}}^{\prime }$ 轉換成 $\mathsf{Yxy}$ 的轉換式如下：

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \left[\begin{array}{c}Y\\ x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}Y\\ {\displaystyle \frac{9u^{\prime }}{6u^{\prime }-16v^{\prime }+12}}\\ {\displaystyle \frac{4v^{\prime }}{6u^{\prime }-16v^{\prime }+12}}\end{array}\right]\end{array}$$

根據式 ($\text{15}$) 計算 ${\left[\begin{array}{c}Y\\ x\\ y\end{array}\right]}_A$ 、${\left[\begin{array}{c}Y\\ x\\ y\end{array}\right]}_B$ 和 ${\left[\begin{array}{c}Y\\ x\\ y\end{array}\right]}_C$ 如下：

$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\left[\begin{array}{c}Y\\ x\\ y\end{array}\right]}_A=\left[\begin{array}{c}0.6835\\ 0.4237\\ 0.3666\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& {\left[\begin{array}{c}Y\\ x\\ y\end{array}\right]}_B=\left[\begin{array}{c}0.5253\\ 0.4822\\ 0.3865\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\left[\begin{array}{c}Y\\ x\\ y\end{array}\right]}_C=\left[\begin{array}{c}0.7626\\ 0.3652\\ 0.3570\end{array}\right]\end{array}$$

 

${\mathsf{Yu}}^{\prime }{\mathsf{v}}^{\prime }$ to $\mathsf{Yxy}$

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${\mathsf{Yu}}^{\prime }{\mathsf{v}}^{\prime }$ 轉換成 $\mathsf{Yxy}$ 的轉換式如下：

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{xY}{y}}\\ Y\\ {\displaystyle \frac{(1-x-y)Y}{y}}\end{array}\right]\end{array}$$

根據式 ($\text{19}$) 計算 ${\left[\begin{array}{c}Y\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_A$ 、${\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_B$ 和 ${\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_C$ 如下：

$$\begin{array}{}\text{(20)}& {\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_A=\left[\begin{array}{c}0.7899\\ 0.6835\\ 0.3910\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& {\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_B=\left[\begin{array}{c}0.6555\\ 0.5253\\ 0.1785\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& {\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_C=\left[\begin{array}{c}0.8896\\ 0.8418\\ 0.6911\end{array}\right]\end{array}$$

 

$\mathsf{XYZ}$ to $\overline{\mathsf{RGB}}$

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$\mathsf{XYZ}$ 轉換 $\overline{\mathsf{RGB}}$ 可以參考式 ($\text{07}$) 和式 ($\text{08}$) 的反矩陣轉換如下：

$$\begin{array}{}\text{(23)}& \left[\begin{array}{c}\bar{R}\\ \bar{G}\\ \bar{B}\end{array}\right]=M_t^{-1}\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]\end{array}$$

 

$\overline{\mathsf{RGB}}$ to $\mathsf{RGB}$

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已知色彩空間為 sRGB ，Gamma Compression 函數如下：

$$\begin{array}{}\text{(24)}& {\mathrm{\Gamma }}^{-1}(\bar{C})=\{\begin{array}{ll}12.92\bar{C}& \text{if }\bar{C}\le 0.0031308\\ 1.055{\bar{C}}^{\frac{1}{2.4}}-0.055& \text{otherwise}\end{array}\end{array}$$

 

結果

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在式 ($\text{24}$) 完成後，須注意數值是否介於 0 和 1 之間，若否，則需進行 clamp 或者選擇適合的 intend 進行壓縮，之後將這些數值正規化到 255 後，取四捨五入整數。在這次的運算中發現正規到 255 後的數值超出 255 數值如下：

$$\begin{array}{}\text{(25)}& {\left[\begin{array}{c}Ｒ\\ Ｇ\\ Ｂ\end{array}\right]}_A=\left[\begin{array}{c}287.4324\\ 192.9386\\ 152.8445\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(26)}& {\left[\begin{array}{c}Ｒ\\ Ｇ\\ Ｂ\end{array}\right]}_A=\left[\begin{array}{c}278.9999\\ 161.2297\\ 96.4013\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(27)}& {\left[\begin{array}{c}Ｒ\\ Ｇ\\ Ｂ\end{array}\right]}_A=\left[\begin{array}{c}280.6359\\ 224.0326\\ 204.6895\end{array}\right]\end{array}$$

為避免這些大於數位訊號能顯示的範圍，必須進行數值限縮，這邊採用等比壓縮法，但這個方法並非合理的限縮方式，但針對貼文者的需求，應該是足夠了。最終結果如下：

$$\begin{array}{}\text{(28)}& {\left[\begin{array}{c}Ｒ\\ Ｇ\\ Ｂ\end{array}\right]}_A=\left[\begin{array}{c}255.0000\\ 171.1684\\ 135.5983\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(29)}& {\left[\begin{array}{c}Ｒ\\ Ｇ\\ Ｂ\end{array}\right]}_A=\left[\begin{array}{c}255.0000\\ 147.3605\\ 88.1088\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(30)}& {\left[\begin{array}{c}Ｒ\\ Ｇ\\ Ｂ\end{array}\right]}_A=\left[\begin{array}{c}255.0000\\ 203.5673\\ 185.9913\end{array}\right]\end{array}$$